1、二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 则称y为x的二次函数。

(相关资料图)

2、 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

3、 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a III.二次函数的图象 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象， 可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

4、 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。

5、对称轴为直线 x = -b/2a。

6、 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

7、 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。

8、 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

9、 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

10、 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

11、 |a|越大，则抛物线的开口越小。

12、 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

13、 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

14、 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

15、 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

16、 Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

17、 Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

18、 V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax²+bx+c=0 此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

19、 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

20、 一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

21、x为自变量，y为因变量。

22、等号右边自变量的最高次数是2。

23、 当△=b²-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

24、　　当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

25、　　当△=b²-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

26、顶点 二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

27、即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k。

28、　　h=-b/2a， k=(4ac-b²)/4a。

29、开口方向和大小二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

30、　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

31、　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

32、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

33、　　当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号　　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

34、因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。

35、　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

36、可通过对二次函数求导得到。

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